تاريخ علم الجبر عند المسلمين

علم الجبر

يعرَّف علم الجبر والمقابَلة على أنه صناعة يُستخرج بها العددُ المجهول من قِبل المعلوم المفروض، إذا كان بينهما نسبةٌ تقتضي ذلك.

ومدار الجبر: جذور وأموال، وعدد مفرد لا ينسب إلى جذر ولا إلى مال.

فالجذر منها: كل شيء مضروب في نفسه من الواحد، وما فوقه من الأعداد، وما دونه من الكسور.

والمال: كل ما اجتمع من الجذر المضروب في نفسه.

والعدد المفرد: كل ملفوظٍ به من العدد، بلا نسبة إلى الجذر ولا إلى المال.

والجبر والمقابلة: عبارة تعني حل المسائل ذات المجهول الواحد أو الأكثر، بحيث يعمل في المسألة على أن يخرج منها إلى معادلة بين مختلفين أو أكثر.

أما كلمة جبر، فكان يقصد بها: نقل الحدود من شطر إلى آخر من المعادلة.

وكلمة المقابلة: توحيد الحدود المتماثلة.

وقد انتهت المعادلة عند الخوارزمي (ت بعد 232هـ/ 846م) - وهو مؤسس علم الجبر والمؤلف الأول فيه - إلى ست مسائل؛ لأن المعادلة بين عدد وجذر ومال مفردة أو مركبة تجيء ستة:

1- أموال تعدل جذورًا            أو بلغة الرموز       م س2= ب س.

2- أموال تعدل عددًا               أو بلغة الرموز       م س2= حـ.

3- جذور تعدل عددًا              أو بلغة الرموز       ب س= حـ.

4- أموال وجذور تعدل عددًا     أو بلغة الرموز     م س2+ ب س= حـ.

5- جذور وعدد تعدل أموالاً     أو بلغة الرموز     ب س+ حـ = م س2.

6- أموال وعدد تعدل جذورًا   أو بلغة الرموز     م س2+ حـ = ب س.

يؤخذ من مقدمة كتاب الجبر والمقابلة للخوارزمي، أن الخوارزمي ألَّف هذا الكتاب تلبية لطلب المأمون، ولما يلزم الناس من الحاجة إليه في مواريثهم ووصاياهم، وفي مقاسمتهم وأحكامهم وتجاراتهم، وفي جميع ما يتعاملون به بينهم من مساحة الأرضين ولرَي الأنهار، والهندسة، وغير ذلك من وجوهه وفنونه.

ومما يلفت النظرَ أن الخوارزميَّ حينما وضع معادلته وضعها كلامًا، ولم يستخدم رموزًا، وحلها وحل جميع المعادلات التي وردت في كتابه دون أن يستخدم رمزًا أو حرفًا أبجديًّا، وفي ذلك - بالطبع - صعوبةٌ بالغة.

ولقد تجلَّت عبقريةُ الخوارزمي ومكانتُه الرفيعة في علم الجبر من خلال تلك المعادلة، بل قام كتاب الجبر والمقابلة على أساسها، تؤول المعادلة إذا ما وضعت بالرموز المعاصرة إلى الشكل التالي:

ومما ينبغي الإشارةُ إليه أن الخوارزمي ومن جاء بعده من العلماء المسلمين في الرياضيات - اكتفَوا بالجذر الموجب، ولم يأخذوا الجذر السالب بعين الاعتبار؛ إذ لم يكن يَعنيهم إلا النواحي العلمية، ولم يعيروا اهتمامهم إلى الناحية النظرية.

كذلك فقد أشار الخوارزمي إلى أن المسألة تغدو مستحيلة إن لم يكن للمجهول قيمةٌ حقيقيَّة فيها؛ أي: إذا كان الجذر جذرًا تخيُّليًّا، وقد تبعه الرياضيون على ذلك، وهذا ما فتح المجال - فيما بعد - للتفكير بالأعداد التخيُّلية.

وبعد وفاة الخوارزمي بمدة، لمع نجم أبي كامل شجاع بن أسلم بن محمد الحاسب المصري (ت نحو 340 هــ/ نحو 951م)، الذي أعطى علم الجبر دفعةً جديدة في كلٍّ من جانبيه النظري والعملي، وأضاف إلى مفهوم الجذور والمال والعدد المفرد - أضاف قوى الرتب العليا للمجهولات: الكعب [وهو المال المضروب بالجذر (الشيء)]، ومال مال ومال مال شيء، وكعب كعب ومال مال مال مال، وسمي المجهول الأول بالشيء، والثاني بالدينار، والثالث بالفلس، والرابع بالخاتم.

• ثم جاء أبو بكر محمد بن الحسن الكرجي (ت 419هـ/ 1029م) بعد أبي كامل شجاع ليقرِّر أن متوالية القُوى يمكن أن تطول إلى ما لا نهاية في ترابط تناسبي، ومن استنباطاته الطريفة أن مجموع مكعبات الحدود في متوالية طبيعية يساوي مربع مجموع هذه الحدود:

وفي كتاب البديع للكرجي المتطابقات الآتية:

يذكر السَّمَوْءَل[1] أن الكرجي عرف حلاًّ عامًّا لمفكوك ذي الحدين (أ+ب) ن من القوة معتمدًا على المثلث الحسابي (الذي ينسبه الغربيون إلى الرياضي الفيزيائي باسكال (ت1073هــ/1662م) كما للكاشي دور في هذا المثلث، وما ورد في هذا الكتاب يعطي فكرة واضحة عن معرفة الكرجي لموضوع المثلث الحسابي في مفكوك ذي الحدين، وعلى الأقل حتى الدرجة الرابعة.

ويعالج الكرجي في الكتاب - ولأول مرة في تاريخ الجذور - استخراجَ الجذر التربيعي لكثير حدود جبري بمجهول واحد، في باب استخراج جذور المقادير التي في حد المجهولات المنطقة بالطول، وإن لم ينجح الكرجي في إيجاد جذر تربيعي لكثير حدود جبري ذي أمثال مختلفة الإشارات، وأتم السَّموءل عمل الكرجي بأنْ طبَّق قاعدة إيجاد الجذر التربيعي على أيِّ كثير حدود.

والكرجي هو من أوائل من درس المعادلات ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية بالنسبة لأي أس مجهول، كما درس بعضًا من معادلات الدرجة الرابعة والسادسة والسابعة.

وفي مستهل القرن الثالث الهجري/ التاسع الميلادي بدأ رياضيو بغداد في دراسة معادلات الدرجة الثالثة على نحو شامل، فأبدعوا فيها أيما إبداع؛ وذلك بدافع البحث في مسألة لأرخميدس، ومفادها: تقسيم كرة بسطح، بحيث يكون حجم القطع الناتجة في تناسب معيَّن.

• والماهاني (ت 275هـ/ 888م) هو أول من حاول - من العلماء المسلمين - إيجاد حل هذه المسألة، فوُفِّق في وضع معادلة لها، سمِّيت - فيما بعدُ -: معادلة الماهاني، ولم يُوفَّق لإيجاد جذور للمعادلة.

• أما أبو جعفر الخازن (ت نحو 400هـ/ 1010م)، فقد وفِّق إلى حلها حلاًّ هندسيًّا مستعينًا بالقطوع المخروطية، كما وفِّق في الوقت نفسه الحسن بن الهيثم في حل مسألة أرخميدس مستعينًا بالقطع المكافئ والقطع الزائد.

• أما عمر الخيام (ت 515هــ/ 1121م)، فكان ذا عقلٍ رياضي فذٍّ، وموهبة علمية ذات قدرة فائقة على الربط والتنظيم والتنسيق؛ فهو من العلماء الرواد القلائل الذين صنفوا المعادلات بحسب درجاتها، وبحسب عدد الحدود التي فيها، وقد تمكن من حل معادلات من الدرجة الثالثة والرابعة، وفرَّق بين الحساب والجبر، وتمكَّن كذلك من حل المعادلات التكعيبية بطرق هندسية، في حين تمكن معاصره البيروني (ت 440هـ/ 1048م) من حلها بطرق جبرية.

وقد نهج علماء الجبر المسلمون في تطوير الجبر منهجين: منهجًا يقوم على تطوير الجبر بالهندسة؛ أي: باستخدام الأشكال الهندسية لاستخراج جذور بعض المعادلات، ومنهجًا آخر يقوم على تطبيق الحساب على الجبر وتوسيع مفهوم العدد بمحاولات غير مباشرة، وبذا استقلت العمليات الجبرية عن التمثيل والتصور الهندسي؛ فقد ربط العلماء المسلمون - على عكس الهنود والإغريق - بين العلمية الحسابية والعلمية الهندسية.

وهكذا ساعد هذا المنهج في نشوء الهندسة التحليلية فيما بعد، وتُعَد هذه النتيجةُ قمةَ ما وصل إليه الرياضيون المسلمون في علم الجبر، ومن أعظم ما وصل إليه علماء الرياضيات في الوقت الحاضر.

ومما يؤسَف له أن المسلمين تأخروا في استخدام الرموز في علم الجبر مدة طويلة؛ إذ لم تستخدمْ إلا في وقت متأخر، ولعل أحمد بن محمد بن البناء المراكشي (ت 721هـ/ 1321م) هو أولُ من استخدم الرموز الجبرية وطبقها في كتابه: "رفع الحجاب"؛ فقد ذكر سزكين نقلاً عن Renaud، أن الأخير وجد أن أبا العباس أحمد بن حسن بن قنفذ (ت 809هـ/ 1406م) - وهو أحد تلاميذ أحفاد ابن البناء المراكشي - قد استخدم لغة رموز متطورة، وبلغت لغة الرموز مستواها الأمثل في كتاب "كشف الأسرار من علم الغبار" للقلصادي[2] (ت 891هـ/ 1486م)؛ فقد استخدم القلصادي الحرف "ج" بدلاً من جذر تربيعي، والحرف "ش" للدلالة على شيء، (المجهول س)، والحرف "م" للدلالة على كلمة مال (أي س2) والحرف "ك" للدلالة على كعب (أي س3)، والحرف "ل" للدلالة على يساوي أو يعادل، والنقاط الثلاث للدلالة على النسبة، وحرف الجر (إلى) للدلالة على الضمِّ، وأداة الاستثناء (إلا) للدلالة على الفرق، ومن المرجح أن Vieta - فيته[3]  (1012هـ/ 1603م) قد اطلع على كتاب القلصادي.

واشتغل المسلمون فيما يتعلق بـ "ذات الحدين"، وبواسطتها يمكن رفع أي مقدار جبري ذي حدين إلى قوة معلومة، أسُّها عدد صحيح موجب أكثر من اثنين، يقول الخيام: "إنه تمكن من إيجاد مفكوك المقدار الجبري ذي الحدين حينما تكون قوته مرفوعة إلى الأسس 2، 3، 4، 5، 6 أو أكثر بوساطة قانون كشفه هو".

واشتغل المسلمون - كذلك - بالجذور الصماء، بل إن الخُوارزمي هو أول من وضع المصطلح "أصم" للدلالة على العدد الذي ليس له جذر، فضلاً عن ذلك فقد أوجد العلماء المسلمون طرقًا جبرية جديدة في إيجاد القيم التقريبية للأعداد والكميات التي يتعذر إيجاد جذر لها؛ مما يدل على عبقريتهم الفذةِ، وقوة تفكيرهم، وتمكنهم من علم الجبر.

وفي باب المساحة من كتاب الجبر والمقابلة للخُوارزمي عمليات هندسية حلَّها بطرق جبرية؛ مما يدل على أن المسلمين هم أول من استعان بالجبر في حل المسائل الهندسية، وقد برزت هذه الطريقة عند الرياضيين المسلمين بشكل واضح بارزٍ، بدءًا من النصف الثاني من القرن الرابع الهجري؛ إذ لجأ الكثيرُ من الرياضيين في حل مسائل هندسية ومثلثية إلى معادلات من الدرجة الثالثة، ومنها تقسيم الزاوية ثلاثة أقسام متساوية، ومسألة تعيين أضلاع مضلع منتظم.

يَذكُر كاجوري في كتابه "تاريخ الرياضيات" - فيما يَذكُر -:

"... إن حل المعادلات التكعيبية بوساطة قطوع المخروط من أعظم الأعمال التي قام بها العرب...".

وبذا فقد سبق المسلمون ديكارت وبيكر في هذه البحوث.

ويذكر كاجوري - كذلك - أن الرياضيين المسلمين حاولوا أن يحلوا مسائل تؤول إلى معادلة على النحو التالي:

وتتعلق بإيجاد ضلع مسبع منتظم، وممن وفِّق في حلها - على الرغم من صعوبتها - أبو الجود من علماء القرن الرابع/ العاشر.

أما الماهاني - انظر قبله - فقد عالج المعادلة التي وضعها بنفسه لحل مسألة أرخميدس، وعرفت فيما بعد بمعادلة الماهاني:

لكنه أخفق في الوصول إلى حل لها، وحل المسلمون بعض أوضاع المعادلات ذات الدرجة الرابعة، واكتشفوا النظرية القائلة: إن مجموع مكعبين لا يكون عددًا مكعبًا صحيحًا، وهذا هو أساس نظرية فرمات Fermat (ت 1076هـ/ 1665م).

وقد جمع المسلمون في حلولهم للمسائل بين الهندسة والجبر في بعض الأعمال الهندسية، فاستخدموا الهندسة لحل بعض الأعمال الجبرية، كما استخدموا الجبر في الهندسة، فهم بذلك واضعو أساس الهندسة التحليلية وليس ديكارت (ت 1061هـ/ 1650م).

فقد أثبت كل من يوشكفيتش وروزنفلد Rosenfeld أن ابن الهيثم هو الذي أوجد مجموع مسلسلتي الأس الثالث والرابع للأعداد الطبيعية عندما كان يقوم بحساب حجم الجسم الدوراني الناتج عن دوران قطعة قائمة من قطع مكافئ حول محور عمودي على محور تماثلها، على غرار ما يأتي بالرموز الجبرية الحديثة:

وبذلك فقد مهَّد المسلمون لعلم التفاضل والتكامل، كما مهد له من قبلهم اليونان بالمبادئ والأعمال التي وضعها علماؤهم، والطرق المبتكرة التي وضعها العلماء الهنود، فقد أخذ العرب - كما يذكر كاربنسكي - هذه المبادئَ وتلك الأعمال والطرق ودرسوها وأصلحوا بعضها، ثم زادوا عليها زيادات هامة، تدل على نضج في أفكارهم، وخصب في عقولهم.

المصدر: لمحات في تاريخ العلوم الكونية عند المسلمين